(滿分：100分考試時(shí)間：150分鐘)
專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)部分
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)
1.下列計(jì)算中正確的是()。
A.x·x3=x2B.x3-x2=x
C.x3÷x=x2D.x3+x3=x6
2.已知如圖，下列條件中，不能判斷直線l1∥l2的是()。
A.∠1=∠3B.∠2=∠3
C.∠4=∠5D.∠2+∠4=180°
3.如圖，某飛機(jī)于空中A處探測到地面目標(biāo)B，此時(shí)從飛機(jī)上看目標(biāo)B的俯角α=30°，飛行高度AC=1 200米，則飛機(jī)到目標(biāo)B的距離AB為()。
A.1 200米B.2 400米
4.下列圖形中陰影部分的面積相等的是()。
A.①②B.②③
C.③④D.①④
5.如圖，已知△EFH和△MNK是位似圖形，那么其位似中心的點(diǎn)是()。
6.若三角形的三邊長分別為3、4、x-1，則x的取值范圍是()。
A.0 C.0 7.在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若AD=2CD，且CD=13CA+λCB，則λ=()。
A.13B.-13
C.23D.-23
8.已知f(x)=ax2+bx+c(a>0),α、β為方程f(x)=x的兩根，且0<α<β。當(dāng)0 A.x C.x>f(x)D.x≥f(x)
9.在等比數(shù)列{an}中，a1=2，前n項(xiàng)和為Sn。若數(shù)列{an+1}也是等比數(shù)列，則Sn等于()。
A.2nB.3n
C.2n+1-2D.3n-1
10.將四名曾參加過奧運(yùn)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員分配到三個(gè)城市進(jìn)行奧運(yùn)知識(shí)的宣傳，每個(gè)城市至少分配一名運(yùn)動(dòng)員，則不同的分配方法共有()。
A.36種B.48種
C.72種D.24種
得分評卷人
二、填空題(本大題共4小題，每小題2分，共8分)
11.復(fù)數(shù)(1+i)21-i的虛部為。
12.函數(shù)f(x)=cos4x-sin4x的最小正周期是。
13.若(x-1x)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為。
14.某公司一個(gè)月生產(chǎn)產(chǎn)品1 890件，其中特級品540件，一級品1 350件，為了檢驗(yàn)產(chǎn)品的包裝質(zhì)量，用分層抽樣的方法，從產(chǎn)品中抽取一個(gè)容量為70的樣本進(jìn)行測試，其中抽取的特級品的件數(shù)是。
三、解答題(本大題共5小題，共42分)
15.(1)(本小題滿分3分)計(jì)算：9-|-2|+33-10-2-1+2sin30°。
(2)(本小題滿分3分)先化簡，再求值：3xx-1-xx+1·x2-1x,其中x=3tan30°-2。
16.(本小題滿分10分)某超市對顧客實(shí)行優(yōu)惠購物，規(guī)定如下：
(1)若一次購物不多于200元，則不予優(yōu)惠;
(2)若一次購物滿200元，但不超過500元，按標(biāo)準(zhǔn)給予9折優(yōu)惠;
(3)若一次購物超過500元，其中500元以下部分(包括500元)給予9折優(yōu)惠，超過500元部分給予8折優(yōu)惠。
小李兩次去該超市購物，分別付款198元和554元，現(xiàn)在小張決定一次性地購買和小李分兩次購買的同樣多的物品，他需付多少元?
17.(本小題滿分6分)傳統(tǒng)型體育彩票規(guī)定：彩票上的7位數(shù)字與開獎(jiǎng)開出的7位數(shù)字順序號碼完全一致，則中大獎(jiǎng)五百萬元。
(1)問購買1組號碼中五百萬的概率是多大?
(2)為了確保中大獎(jiǎng)五百萬元，每組號碼2元，則至少要花多少錢購買彩票?
(3)有人說：就一組號碼而言，要么中大獎(jiǎng)，要么不中大獎(jiǎng)，所以中大獎(jiǎng)的概率是50%，你同意這種說法嗎?為什么?
18.(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=(x2-x-1a)eax(e為自然對數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù))。當(dāng)a<0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。
19.(本小題滿分10分)已知等比數(shù)列{an}的公比為q，且|q|>1，又知a2、a3的等比中項(xiàng)為42,a1、a2的等差中項(xiàng)為9。
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=an·log12an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求limn→∞Tn+n·2n+1an+2的值。
【參考答案】
一、選擇題
1.C 【解析】略。
2.B 【解析】根據(jù)平行線的判定方法可知，∠2=∠3不能判定l1∥l2，故選B。
3.B 【解析】本題考查解答直角三角形應(yīng)用題的能力，根據(jù)題意得AB=2AC=2 400米。選B。
4.D 【解析】分別計(jì)算圖中①②③④陰影部分面積比較即可。
5.B 【解析】兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心。因此本題正確選項(xiàng)為B。(如下圖)
6.B 【解析】由題意得4-3
7.C 【解析】如圖，據(jù)題意得：
CD=12(CE+CB)=12[12(CD+CA)+CB]
=14CD+14CA+12CB，整理得：
34CD=14CA+12CBCD=13CA+23CB=13CA+λCB，
故λ=23。
8.A 【解析】據(jù)題意令g(x)=f(x)-x=a(x-α)(x-β),由已知a>0,且0<α<β，故當(dāng)00f(x)>x,故選A。
9.A 【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q,由a1=2且{an+1}也為等比數(shù)列得：(a2+1)2=(a1+1)(a3+1)(2q+1)2=3×(2q2+1),解之得q=1,經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)q=1時(shí)數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列，故等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=na1=2n。
10.A 【解析】解答此類問題可先分組后分配，據(jù)題意將4名運(yùn)動(dòng)員分成2，1，1三組，然后再將3組分到3個(gè)城市中去即可，故共有C24A33=36種不同的分配方法。
二、填空題
11.1
【解析】據(jù)題意得：z=(1+i)21-i=2i1-i=2i(1+i)2=-1+i，因此其虛部為1。
12.π
【解析】由已知得：f(x)=cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x，故其最小正周期為2π2=π。
13.15
【解析】由二項(xiàng)式系數(shù)之和為64得：2n=64n=6，此時(shí)通項(xiàng)為：Tr+1=Cr6(-1)rx6-32r,令6-32r=0得r=4，故常數(shù)項(xiàng)為：T4+1=C46(-1)4=15。
14.20
【解析】分層抽樣中每一層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率均相等，故有：n70=5401 890n=20。
三、解答題
15. 解：(1)原式=3-2+1-12+1=212
(2)原式=3xx-1·(x+1)(x-1)x-xx+1·(x+1)(x-1)x
=3(x+1)-(x-1)
=3x+3-x+1
=2x+4
x=3tan30°-2=3×33-2=3-2時(shí)，原式=2x+4=2(3-2)+4=23
16.解：小李第一次購物付款198元，有兩種情況：①?zèng)]有享受打折，直接付款198元;②享受打折后，付款198元。因此，解答此題應(yīng)分兩種情況分別討論。
①當(dāng)198元為購物不打折付的錢時(shí)，現(xiàn)購物品原價(jià)為198元。
設(shè)小李第二次購物的原價(jià)為x元。則根據(jù)題意，列方程：
500×90%+(x-500)×80%=554
解得：x=630
于是小李兩次購物的原價(jià)共為：
198+630=828(元)。
小張一次性購買這些物品應(yīng)付：
500×90%+(828-500)×80%=712.4(元)
②當(dāng)198元為購物打折后付的錢，設(shè)購該物品的原價(jià)為x元，則根據(jù)題意列方程得：
x·90%=198
解得：x=220
又第二次購物的原價(jià)為630元，于是小李兩次購物的原價(jià)共為：
630+220=850(元)
小張一次性購買這些物品應(yīng)付：
500×90%+(850-500)×80%=730(元)
答：小張需付712.4元或730元。
17.解：(1)購買一組號碼中五百萬大獎(jiǎng)的概率是P(中五百萬)=110 000 000，是一千萬分之一。
(2)為了確保中大獎(jiǎng)五百萬，必須買全一千萬組號碼，至少得花兩千萬元錢購買彩票。
(3)這種說法不正確，雖然就一組號碼而言要么中大獎(jiǎng)五百萬要么不中，但是中大獎(jiǎng)概率極小，不中大獎(jiǎng)的概率極大，不是各50%。
18.解：f′(x)=(2x-1)eax+(x2-x-1a)·eax·a
=eax(ax+2)(x-1)
令f′(x)=0,即(ax+2)(x-1)=0，解得x=-2a，或x=1
當(dāng)a<-2,即-2a<1時(shí)，f′(x)>0-2a f′(x)<0x<-2a，或x>1
∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-2a)∪(1,+∞)，
單調(diào)增區(qū)間為(-2a,1)。
當(dāng)a=-2，即-2a=1時(shí)，
f′(x)=e-2x(-2)(x-1)2≤0在R上恒成立。
∴f(x)單調(diào)減區(qū)間為(-∞,+∞)。
當(dāng)-21時(shí)，f′(x)<0x<1或x>-2a，
f′(x)>01 ∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,1)∪(-2a,+∞)，
單調(diào)增區(qū)間為(1，-2a)。
綜上，當(dāng)a<-2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(-2a,1),
單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-2a)∪(1,+∞)
當(dāng)a=-2,f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,+∞);
當(dāng)-2 單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1)∪(-2a,+∞)。
19. 解：(1)由已知，得a2·a3=(42)2=32a1+a4=2×9=18
∵{an}是等比數(shù)列且公比為q,
∴a21·q3=32a1+a1q3=18,解得a1=2q=2或a1=16q=12
又|q|>1∴a1=2q=2 從而an=2·2n-1=2n
(2)∵bn=an·log12an=-n·2n(n∈N*)
Tn=b1+b2+…+bn=-(1×2+2×22+…+n·2n)①
2Tn=-(1·22+2·23+…+n·2n+1)②
②-①得Tn=(2+22+…+2n)-n·2n+1
∴Tn=(1-n)·2n+1-2
limn→∞Tn+n·2n+1an+2=limn→∞2n+1-22n+2=12