教學(xué)目標(biāo)

1．使學(xué)生理解的概念，了解通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出的前幾項(xiàng)．

（1）理解是按一定順序排成的一列數(shù)，其每一項(xiàng)是由其項(xiàng)數(shù)唯一確定的．

（2）了解的各種表示方法，理解通項(xiàng)公式是第 項(xiàng) 與項(xiàng)數(shù) 的關(guān)系式，能根據(jù)通項(xiàng)公式寫出的前幾項(xiàng)，并能根據(jù)給出的一個(gè)的前幾項(xiàng)寫出該的一個(gè)通項(xiàng)公式．

（3）已知一個(gè)的遞推公式及前若干項(xiàng)，便確定了，能用代入法寫出的前幾項(xiàng)．

2．通過對(duì)一列數(shù)的觀察、歸納，寫出符合條件的一個(gè)通項(xiàng)公式，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和抽象概括能力．

3．通過由 求 的過程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度及良好的思維習(xí)慣．

教學(xué)建議

（1）為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，體會(huì)知識(shí)在實(shí)際生活中的作用，可由實(shí)際問題引入，從中抽象出要研究的問題，使學(xué)生對(duì)所要研究的內(nèi)容心中有數(shù)，如書中所給的例子，還有物品堆放個(gè)數(shù)的計(jì)算等．

（2）中蘊(yùn)含的函數(shù)思想是研究的指導(dǎo)思想，應(yīng)及早引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與函數(shù)的關(guān)系．在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)的項(xiàng)是按一定順序排列的，“次序”便是函數(shù)的自變量，相同的數(shù)組成的，次序不同則就是不同的．函數(shù)表示法有列表法、圖象法、解析式法，類似地，就有列舉法、圖示法、通項(xiàng)公式法．由于的自變量為正整數(shù)，于是就有可能相鄰的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）有關(guān)系，從而就有其特殊的表示法——遞推公式法．

（3）由的通項(xiàng)公式寫出的前幾項(xiàng)是簡單的代入法，教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)例題，使這一例題為寫通項(xiàng)公式作一些準(zhǔn)備，尤其是對(duì)程度差的學(xué)生，應(yīng)多舉幾個(gè)例子，讓學(xué)生觀察歸納通項(xiàng)公式與各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)關(guān)系，盡量為寫通項(xiàng)公式提供幫助．

（4）由的前幾項(xiàng)寫出的一個(gè)通項(xiàng)公式使學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，要幫助學(xué)生分析各項(xiàng)中的結(jié)構(gòu)特征（整式，分式，遞增，遞減，擺動(dòng)等），由學(xué)生歸納一些規(guī)律性的結(jié)論，如正負(fù)相間用 來調(diào)整等．如果學(xué)生一時(shí)不能寫出通項(xiàng)公式，可讓學(xué)生依據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律，猜想該的下一項(xiàng)或下幾項(xiàng)的值，以便尋求項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系．

（5）對(duì)每個(gè)都有求和問題，所以在本節(jié)課應(yīng)補(bǔ)充前 項(xiàng)和的概念，用 表示 的問題是重點(diǎn)問題，可先提出一個(gè)具體問題讓學(xué)生分析 與 的關(guān)系，再由特殊到一般，研究其一般規(guī)律，并給出嚴(yán)格的推理證明（強(qiáng)調(diào) 的表達(dá)式是分段的）；之后再到特殊問題的解決，舉例時(shí)要兼顧結(jié)果可合并及不可合并的情況．

（6）給出一些簡單的通項(xiàng)公式，可以求其最大項(xiàng)或最小項(xiàng)，又是函數(shù)思想與方法的體現(xiàn)，對(duì)程度好的學(xué)生應(yīng)提出這一問題，學(xué)生運(yùn)用函數(shù)知識(shí)是可以解決的．

 

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

的概念

教學(xué)目標(biāo)

1．通過教學(xué)使學(xué)生理解的概念，了解的表示法，能夠根據(jù)通項(xiàng)公式寫出的項(xiàng)．

2．通過定義的歸納概括，初步培養(yǎng)學(xué)生的觀察、抽象概括能力；滲透函數(shù)思想．

3．通過有關(guān)實(shí)際應(yīng)用的介紹，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)研究的積極性．

教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)是的定義的歸納與認(rèn)識(shí)；教學(xué)難點(diǎn) 是與函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別．

教學(xué)用具：電腦，課件（媒體資料），投影儀，幻燈片

教學(xué)方法：講授法為主

教學(xué)過程

一．揭示課題

今天開始我們研究一個(gè)新課題．

先舉一個(gè)生活中的例子：場地上堆放了一些圓鋼，最底下的一層有100根，在其上一層（稱作第二層）碼放了99根，第三層碼放了98根，依此類推，問：最多可放多少層？第57層有多少根？從第1層到第57層一共有多少根？我們不能滿足于一層層的去數(shù)，而是要但求如何去研究，找出一般規(guī)律．實(shí)際上我們要研究的是這樣的一列數(shù)

（板書） 象這樣排好隊(duì)的數(shù)就是我們的研究對(duì)象——．

（板書）第三章

（一）的概念

二．講解新課

要研究先要知道何為，即先要給下定義，為幫助同學(xué)概括出的定義，再給出幾列數(shù)：

（幻燈片）                     ①

自然數(shù)排成一列數(shù)：

②

3個(gè)1排成一列：

③

無數(shù)個(gè)1排成一列：

④

的不足近似值，分別近似到 排列起來：

                          ⑤

正整數(shù) 的倒數(shù)排成一列數(shù)：

                                ⑥

函數(shù) 當(dāng) 依次取 時(shí)得到一列數(shù)：

                              ⑦

函數(shù) 當(dāng) 依次取 時(shí)得到一列數(shù)：

                           ⑧

請(qǐng)學(xué)生觀察8列數(shù)，說明每列數(shù)就是一個(gè)，中的每個(gè)數(shù)都有自己的特定的位置，這樣就是按一定順序排成的一列數(shù)．

（板書）1．的定義：按一定次序排成的一列數(shù)叫做．

為表述方便給出幾個(gè)名稱：項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)，首項(xiàng)（以幻燈片的形式給出）．以上述八個(gè)為例，讓學(xué)生練習(xí)指出某一個(gè)的首項(xiàng)是多少，第二項(xiàng)是多少，指出某一個(gè)的一些項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)．

由此可以看出，給定一個(gè)，應(yīng)能夠指明第一項(xiàng)是多少，第二項(xiàng)是多少，……，每一項(xiàng)都是確定的，即指明項(xiàng)數(shù)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)就確定．所以中的每一項(xiàng)與其項(xiàng)數(shù)有著對(duì)應(yīng)關(guān)系，這與我們學(xué)過的函數(shù)有密切關(guān)系．

（板書）2．與函數(shù)的關(guān)系

可以看作特殊的函數(shù)，項(xiàng)數(shù)是其自變量，項(xiàng)是項(xiàng)數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，的定義域是正整數(shù)集 ，或是正整數(shù)集 的有限子集 ．

于是我們研究就可借用函數(shù)的研究方法，用函數(shù)的觀點(diǎn)看待．

遇到數(shù)學(xué)概念不單要下定義，還要給其數(shù)學(xué)表示，以便研究與交流，下面探討的表示法．

（板書）3．的表示法

可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，首先請(qǐng)學(xué)生回憶函數(shù)的表示法：列表法，圖象法，解析式法．相對(duì)于列表法表示一個(gè)函數(shù)，有這樣的表示法：用 表示第一項(xiàng)，用 表示第一項(xiàng)，……，用 表示第 項(xiàng)，依次寫出成為

（板書）（1）列舉法

．（如幻燈片上的例子）簡記為 ．

一個(gè)函數(shù)的直觀形式是其圖象，我們也可用圖形表示一個(gè)，把它稱作圖示法．

（板書）（2）圖示法

啟發(fā)學(xué)生仿照函數(shù)圖象的畫法畫的圖形．具體方法是以項(xiàng)數(shù) 為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng) 為縱坐標(biāo)，即以 為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)（以前面提到的 為例，做出一個(gè)的圖象），所得的的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在 軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于的項(xiàng)數(shù)．從圖象中可以直觀地看到的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢．

有些函數(shù)可以用解析式來表示，解析式反映了一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值與自變量之間的數(shù)量關(guān)系，類似地有一些的項(xiàng)能用其項(xiàng)數(shù)的函數(shù)式表示出來，即 ，這個(gè)函數(shù)式叫做的通項(xiàng)公式．

（板書）（3）通項(xiàng)公式法

如 的通項(xiàng)公式為 ；

  的通項(xiàng)公式為 ；

的通項(xiàng)公式為 ；

的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它表示了的第 項(xiàng)，又是這個(gè)中所有各項(xiàng)的一般表示．通項(xiàng)公式反映了一個(gè)項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了的通項(xiàng)公式，這個(gè)便確定了，代入項(xiàng)數(shù)就可求出的每一項(xiàng)．

例如， 的通項(xiàng)公式 ，則 ．

值得注意的是，正如一個(gè)函數(shù)未必能用解析式表示一樣，不是所有的都有通項(xiàng)公式，即便有通項(xiàng)公式，通項(xiàng)公式也未必唯一．

除了以上三種表示法，某些相鄰的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）有關(guān)系，這個(gè)關(guān)系用一個(gè)公式來表示，叫做遞推公式．

（板書）（4）遞推公式法

如前面所舉的鋼管的例子，第 層鋼管數(shù) 與第 層鋼管數(shù) 的關(guān)系是 ，再給定 ，便可依次求出各項(xiàng)．再如 中， ，這個(gè)就是 ．

像這樣，如果已知的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系用一個(gè)公式來表示，這個(gè)公式叫做這個(gè)的遞推公式．遞推公式是所特有的表示法，它包含兩個(gè)部分，一是遞推關(guān)系，一是初始條件，二者缺一不可．

可由學(xué)生舉例，以檢驗(yàn)學(xué)生是否理解．

三．小結(jié)

1．的概念

2．的四種表示

四．作業(yè)   略

五．板書設(shè)計(jì)

（一）的概念 涉及的及表示

       1．的定義

       2．與函數(shù)的關(guān)系

       3．的表示法

       （1）列舉法

       （2）圖示法

     （3）通項(xiàng)公式法

     （4）遞推公式法
 
  探究活動(dòng)
將邊長為 厘米的正方形分成 個(gè)邊長為1厘米的正方形，數(shù)出其中所有正方形的個(gè)數(shù)．

解：當(dāng) 時(shí)，共有正方形 個(gè)；當(dāng) 時(shí)，共有正方形 個(gè)；當(dāng) 時(shí)，共有正方形 個(gè)；當(dāng) 時(shí)，共有正方形 個(gè)；當(dāng) 時(shí)，共有正方形 個(gè)；歸納猜想邊長為 厘米的正方形中的正方形共有 個(gè)．