(滿分：100分考試時間：150分鐘)
專業(yè)基礎知識部分
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)
1.下列運算中，正確的是()。
A.x2+x2=x4B.x2÷x=x2
C.x3-x2=xD.x·x2=x3
2.在下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()。
3.下圖是某一幾何體的三視圖，則這個幾何體是()。
A.圓柱體B.圓錐體
C.正方體D.球體
4.9的平方根是()。
A.3B.±3
C.-3D.81
5.如圖，圓錐形煙囪帽的底面直徑為80cm，母線長為50cm，則這樣的煙囪帽的側面積是()。
A.4 000πcm2
B.3 600πcm2
C.2 000πcm2
D.1 000πcm2
6.設集合M={直線｝，P={圓｝，則集合M∩P中的元素的個數(shù)為()
A.0B.1
C.2D.0或1或2
7.若sinα>tanα>cotα(-π4<α<π2)，則α∈()
A.(-π2，-π4)B.(-π4，0)
C.(0，π4)D.(π4，π2)
8.如果奇函數(shù)f(x) 在[3，7]上是增函數(shù)且最小值為5，那么f(x)在區(qū)間[-7，-3]上是()
A.增函數(shù)且最小值為-5B.減函數(shù)且最小值是-5
C.增函數(shù)且最大值為-5D.減函數(shù)且最大值是-5
9.如果實數(shù)x、y滿足等式(x-2)2+y2=3，那么yx的最大值是()
A.12B.33
C.32D.3
10.設球的半徑為R, P、Q是球面上北緯60°圈上的兩點，這兩點在緯度圈上的劣弧的長是πR2，則這兩點的球面距離是()
A.3RB.2πR2
C.πR3D.πR2
二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)
11.已知：|x|=5，y=3，則x-y=。
12.計算：2aa2-9-1a-3=。
13.如圖，直線AB、CD相交于點O，OE⊥AB，垂足為O，如果∠EOD=42°，則∠AOC=。
14.將5個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有。
15.一個幾何體的三視圖如圖所示：其中，正視圖中△ABC的邊長是2的正三角形，俯視圖為正六邊形，那么該幾何體的體積為。
三、解答題(本大題共5小題，共35分)
16.(本小題滿分5分)已知關于x的一元二次方程x2-2x-a=0。
(1)如果此方程有兩個不相等的實數(shù)根，求a的取值范圍;
(2)如果此方程的兩個實數(shù)根為x1、x2，且滿足1x1+1x2=-23，求a的值。
17.(本小題滿分5分)
如圖所示，⊙O的直徑AB=4，點P是AB延長線上的一點，過點P作⊙O的切線，切點為C，連接AC。
(1)若∠CPA=30°，求PC的長;
(2)若點P在AB的延長線上運動，∠CPA的平分線交AC于點M。你認為∠CMP的大小是否發(fā)生變化?若變化，請說明理由;若不變化，請求出∠CMP的值。
18.(本小題滿分5分)
下表為北京奧運會官方票務網站公布的幾種球類比賽的門票價格，某球迷準備用12 000元購買15張下表中球類比賽的門票：
比賽項目票價(元/場)
男籃1 000
足球800
乒乓球500
(1)若全部資金用來購買男籃門票和乒乓球門票，問這個球迷可以購買男籃門票和乒乓球門票各多少張?
(2)若在準備資金允許的范圍內和總票數(shù)不變的前提下，這個球迷想購買上表中三種球類門票，其中足球門票與乒乓球門票數(shù)相同，且足球門票的費用不超過男籃門票的費用，問可以購買這三種球類門票各多少張?
19.(本小題滿分10分)
一座拱橋的輪廓是拋物線型(如圖所示)，拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m。
(1)將拋物線放在所給的直角坐標系中(如圖所示)，求拋物線的解析式;
(2)求支柱的長度;
(3)拱橋下地平面是雙向行車道(正中間是一條寬2m的隔離帶)，其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車(汽車間的間隔忽略不計)?請說明你的理由。
20.(本小題滿分10分)
如圖①，OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4。
(1)在OC邊上取一點D，將紙片沿AD翻折，使點O落在BC邊上的點E處，求D、E兩點的坐標;
(2)如圖②，若AE上有一動點P(不與A、E重合)自A點沿AE方向向E點勻速運動，運動的速度為每秒1個單位長度，設運動的時間為t秒(0
(3)在(2)的條件下，當t為何值時，以A、M、E為頂點的三角形為等腰三角形，并求出相應的時刻點M的坐標。
【參考答案】
一、選擇題
1.D 【解析】考查同底數(shù)冪相乘。
2.C 【解析】略。
3.A 【解析】略。
4.B 【解析】略。
5.C 【解析】展開后，扇形弧長為80π,扇形面積為12lR=12×50×80π=2 000πcm2。
6.A 【解析】M、P表示元素分別為直線和圓的兩個集合，它們沒有公共元素。故選A。
7.B 【解析】因-π4<α<π2，取α=-π6代入sinα>tanα>cotα，滿足條件式，則排除A、C、D，故選B。
8.C 【解析】構造特殊函數(shù)f(x)=53x，顯然滿足題設條件，并易知f(x)在區(qū)間[-7，-3]上是增函數(shù)，且最大值為f(-3)=-5，故選C。
9.D 【解析】題中yx可寫成y-0x-0。聯(lián)想數(shù)學模型：過兩點的直線的斜率公式k=y2-y1x2-x1，可將問題看成圓(x-2)2+y2=3上的點與坐標原點O連線的斜率的最大值，即得D。
10.C 【解析】因緯線弧長>球面距離>直線距離，排除A、B、D，故選C。
二、填空題
11.2或-8
【解析】略。
12.1a+3
【解析】略。
13.48°
【解析】略。
14.25種
【解析】C15C44+C25C33+C35C22=25
15.32
【解析】h=3,a=1,V=13Sh=13×34×1×6×3=32
三、解答題
16.解：(1)△=(-2)2-4×1×(-a)=4+4a
∵方程有兩個不相等的實數(shù)根�！唷�>0
即a>-1
(2)由題意得：x1+x2=2,x1·x2=-a
∵1x1+1x2=x1+x2x1x2=2-a,1x1+1x2=-23
∴2-a=-23∴a=3
17.解：(1)連接OC
由AB=4，得OC=2，在Rt△OPC中，∠CPO=30°，得PC=23
(2)不變
∠CMP=∠CAP+∠MPA=12∠COP+12∠CPA=12×90°=45°
18.解：(1)設購買男籃門票x張，則乒乓球門票(15-x)張,得：1 000x+500(15-x)=12 000，解得：x=9
∴15-x=15-9=6
(2)設足球門票與乒乓球門票數(shù)都購買y張，則男籃門票數(shù)為(15-2y)張，得：
800y+500y+1 000(15-2y)≤12 000
800y≤1 000(15-2y)
解得：427≤y≤5514。由y為正整數(shù)可得y=515-2y=5
因而，可以購買這三種門票各5張。
19.解：(1)根據(jù)題目條件，A、B、C的坐標分別是(-10，0)(10，0)(0，6)
設拋物線的解析式為y=ax2+c
將B、C的坐標代入y=ax2+c，得6=c0=100a+c
解得a=-350,c=6
所以拋物線的表達式是y=-350x2+6。
(2)可設F(5，yF)，于是yF=-350×52+6=4.5
從而支柱MN的長度是10-4.5=5.5米。
(3)設DN是隔離帶的寬，NG是三輛車的寬度和，則G點坐標是(7，0)。
過G點作GH垂直AB交拋物線于H，則yH=-350×72+6≈3.06>3
根據(jù)拋物線的特點，可知一條行車道能并排行駛這樣的3輛汽車。
20.解：(1)依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對稱軸，
∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4
∴BE=AE2-AB2=52-42=3�！郈E=2
∴E點坐標為(2，4)。
在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，又∵DE=OD
∴(4-OD)2+22=OD2。解得：CD=52
∴D點坐標為(0，52)
(2)如圖①∵PM∥ED，∴△APM∽△AED。
∴PMED=APAE，又知AP=t，ED=52，AE=5
∴PM=t5×52=t2，又∵PE=5-t，
而顯然四邊形PMNE為矩形，
∴S矩形PMNE=PM·PE=t2×(5-t)=-12t2+52t
∴S四邊形PMNE=-12t-522+258，又∵0<52<5
∴當t=52時，S矩形PMNE有最大值258。
(3)①若以AE為等腰三角形的底，則ME=MA(如圖②)。
在Rt△AED中，ME=MA，∵PM⊥AE，∴P為AE的中點，
∴t=AP=12AE=52
又∵PM∥ED，∴M為AD的中點。
過點M作MF⊥OA，垂足為F，則MF是△OAD的中位線，
∴MF=12OD=54，OF=12OA=52
∴當t=52時，0<52<5△AME為等腰三角形。
此時M點坐標為52,54。
②若以AE為等腰三角形的腰，則AM=AE=5(如圖③)
在Rt△AOD中，AD=OD2+AO2=522+52=525
過點M作MF⊥OA，垂足為F。
∵PM∥ED∴△APM∽△AED∴APAE=AMAD
∴t=AP=AM·AEAD=5×5525=25，∴PM=12t=5
∴MF=MP=5，OF=OA-AF=OA-AP=5-25
∴當t=25時，(0<25<5)，此時M點坐標為(5-25,5)。
綜合①②可知，t=52或t=25時，以A、M、E為頂點的三角形為等腰三角形，相應M點的坐標為52，54或(5-25，5)。